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62重心运动的守恒原理及能量的惯性62（第3页）

F=υ·dmdt+m·dυdt，速度v=dxvdt。

而mv·（d2xvdt2）就是牛顿第二定律：力F=质量m×加速度a的微分形式，其等于Жv；

d[mv·（dxvdt）]dt则是狭义相对论改写的牛顿第二定律，除了F=ma，还包含了质量m随能量E改变的量，即为相对论力学，其等于Rχ。因为Rχ为电磁场对质量m1，m2，…，mn上的所有力的设定自动暗含了根据麦克斯韦方程组导出的光速不变而推导出的狭义相对论及其质能方程效应。

如果不考虑质量m随能量E改变的相对论质能方程，则方程7第一个等号成立。）

由方程7右边两项可得方程8：

d∑[mv·（dxvdt）]dt=∑Жv=Rχ

（注：Rχ=Жv在不考虑质能方程的前提下成立，如果考虑到狭义相对论提出的质量随能量改变，Rχ=Жv则不严格成立，即，考虑质能方程的Rχ≥不考虑质能方程的Жv。）

将方程8代入方程6再积分可得方程9：

J（4πV）+∑[mv·（dxvdt）]=常数

以上方程7到方程9的推导以质量与能量无关，如果在质量与能量有关的情况二下，则方程7的第一个等号不再成立，对此爱因斯坦在论文中进行了分析，认为其在忽略二阶项的所需的精确度内——即物体速度远低于光速而相对论质量随速度增加效应不显著时——成立。具体论述如下：

在情况二，即质量与能量有关的前提下，方程7第一个等号的物理量mv·（d2xvdt2）和d[mv·（dxvdt）]dt以方程10来描述：

d[mv·（dxvdt）]dt-mv·（d2xvdt2）=（dmvdt）·（dxvdt）=（1V2）·∫[ρ·（dxvdt）（uX+υY+wZ）dτ]（4π）

在论文中爱因斯坦对方程10，即mv·（d2xvdt2）和d[mv·（dxvdt）]dt的关系在考虑质增效应的前提下，进行了文字说明：“（方程10）具有速度的二阶项。因此，如果所有的速度都如此之小，以至于二阶项可被忽略去，那么即便质量mv是变量，方程d[mv·（dxvdt）]dt=Жv（注：即d[mv·（dxvdt）]dt恒等于Rχ，质增效应不明显时也等于Жv）肯定在所需的精确度内成立，那么方程8和方程9也成立。”

上述论证在忽略二阶项的所需的精确度内公式7和公式8也最终成立的目的就是为了得出公式9在考虑质能方程的前提下依然成立，以最终论证发生电磁过程的系统也符合重心守恒定律。

将方程9代入方程5可得方程11：

d[∑（mv·xv）+∫xre·dτ]dt=常数

（注：∑（mv·xv）是质体的质量与其重心的乘积，∫xre·dτ是电磁场的能量质量与其重心的乘积。）

由方程11可得方程12，即物体质心的定义：

ξ=[∑（mv·xv）+∫xre·dτ]（∑mv+∫re·dτ）

其中，ξ是有质体的质量以及电磁场的能量质量的重心的χ坐标。

接着，爱因斯坦对方程12进行了文字说明：“这里，根据能量原理（按照本文提出的解释，质量守恒原理是能量原理的特殊情形。），（方程12）右边分母的值与时间无关（注：洛伦兹变换下的守恒量）。所以我们又可以把方程11写成如下形式dξdt=常数。

这样，如果人们从惯性质量EV2赋予任何能量，那么至少在一阶近似内，重心运动守恒原理也应该对于发生电磁过程的系统成立（注：论文第二部分论证的最终目的）。”

这第二部分的论述其实是解释了第一部分的思想实验必定要符合重心守恒定律，所以，第一部分发生电磁过程的系统——即发出辐射能量S——的思想实验中的输运体k在吸收辐射能S后质量必定不为0，因此，最终得出论文的结论：物体的惯性依赖于它所含的能量。（注：绕了好大圈，刚开始笔者也没看出来目的是这个。）

最后，爱因斯坦以一句话结束了论文《重心运动的守恒原理及能量的惯性》：

“上述研究表明，要么人们必须放弃力学的基本定律，按照这个定律，原先处于静止的物体除非受到外力则不能平动（注：当然不能放弃力学的基本定律），要么人们必须假设物体的惯性依据上述的定律依赖于它所含的能量（注：这个是要接受的，不然爱因斯坦拿一篇论文在这论证啥呢）。”

论文就此正式结束，这篇论文《物理学年鉴》1906年5月17日收到，最终于6月26日发表。