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十七 伟力217（第1页）

极限club伯克利后面呢？

快进到模型？真类？

可无限者并不满足于此，祂想自创一种大基数，来丰富那之间的空隙。

用哪种办法呢？

最简单的方法好比说对大基数排个序？令不可达基数＝1，弱紧致基数＝2，可测基数＝3，阶对阶基数＝4，极限club伯克利基数＝5，由此延伸出更强的6号、7号大基数？

还是像某超越基数那样，定义一个需要ω套公理支撑的大基数？

还是借鉴下莱茵哈特基数这位前辈，钦定存在一个强到大部分集合论公理系统都不能兼容的大基数，会引出0＝1或者其他形式的矛盾？

还是借助向下司寇伦定理，钦定存在一个超越可数传递模型的大基数？

序列延伸？不可兼容？ω套公理？不可数模型？超语言？反射原理？割裂于V？…

说白了，不管你用哪一种非主流方式来自创大基数，都会被冠以民科、不良定义之名。

祂觉得这很没意义，于是就不搞什么自创大基数了。

直接进入下一个阶段吧。

建立一个囊括世间万物的模型V，V是所有集合的真类，一切可能的集合都被容纳在内，由于V过于巨大也被称作是宇宙，前面提到过的、没有提到过的所有大基数皆是V的一部分。V的全名是冯·诺依曼万有宇宙，贴吧也有人叫它“终极V”。

最常见搭建V的方式需要三个工具，即空集、取幂和序数逻辑，跨越所有极限，符号化展现为：

V?＝?，V?＝{?}，V?＝{?，{?}}，V?＝{?，{?}，{?，{?}}}……据V???＝P（V?）类推

V_ω＝V?UV?UV?U…UV?U……＝∪↓（k﹤ω）V?

注意“x↓（y）”的含义是“y为x的正下方下标。”

…

若a＝x+1，V_λ＝P（V?）；若a为极限序数，V_λ＝∪↓（k﹤λ）V?

则k跑遍所有序数V＝∪↓（?）V?

然后是格罗滕迪克宇宙，它是在ZF运算下封闭的一个类，实质是Vκ，其中κ是一个强不可达基数，在假设选择公理的情况下，Vκ是ZFC的一个传递模型。

V?＝?；V_α+1=P（V_α），a为任意序数；

a为极限序数时，V_α=?_（α?β）V_β；

V=?_（α∈ON）V_α，ON是所有序数的类。

格罗滕迪克公理是“对任意集合x都存在一个宇宙U使得x∈U”，可以理解为对于每个序数都有比这个序数大的强不可达基数。

U＝Vk且U∈V；U具有无限集；若x∈U，y∈x，则y∈U；若x，y∈U，则{x，y}∈U；若x∈U，则Pow（x）∈U；I∈U，f:I→U，则?i∈If（i）∈U（族的合并是封闭的）。

真类宇宙有很多，除了万有宇宙V和格罗滕迪克宇宙之外，还有遗传序数可定义宇宙HOD，可构造性宇宙L，正则基数宇宙REG，序数宇宙ON，良序集宇宙WO，良基集宇宙WF…

还有真超类宇宙，像是集合论多元宇宙、复宇宙、脱殊复宇宙、……都是真超类宇宙。

先来说集合论多元宇宙吧，它是由V（真类V）组成的超类，即超真类。集合论多元宇宙是由分歧集宇宙引出的，因力迫法导致的分歧使我们得到唯一的V，集合论多元宇宙容许分歧的存在，使得没有唯一一个绝对的宇宙V。在集合论多元宇宙中，不仅仅是因力迫法产生的分歧集宇宙，任何典范和非典范的内模型和存在、不存在的大基数（及其模型）均具有本体论的等价地位。而且与物理学的平行宇宙一样，同时存在拥有各自属于自己的连续统的值的集宇宙，容许了分歧从物理置于数学上“无限可能性”。

再来说复宇宙系列，复宇宙是一个由ZFC模型组成的非空类，它满足可数化公理、伪良基公理、可实现公理、力迫扩张公理、嵌入回溯公理。对于任意集合论宇宙V，W可以作为集合论宇宙当且仅当W是集合论模型且在V中可定义。对于任意集合论宇宙V，任意位于V内的力迫P，存在一个力迫扩张V[G]其中G?P为V-generico。对于任意集合论宇宙V都存在更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V?Wθ?W，从比V更高的W的角度来说V是可列的。存在一个集合论宇宙V且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使得在W看来M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。

复复宇宙公理可以理解为，对于任何复宇宙都存在更完备的复宇宙，同理我们能构造出复复复宇宙、复复复复宇宙、……。该公理的内容是：存在一个复宇宙，且对任意复宇宙M存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N，使得在N看来M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。

再说脱殊复宇宙，它拥有万有宇宙V的所有脱殊扩张形式，令M为ZFC的可数传递模型，满足M∈V?；若N∈V?，而N’=N[G]是N的脱殊扩张，则N’∈V?；若N∈V?，而N=N’[G]是N’的脱殊扩张，则N’∈V?；的最小模型类V?就是脱殊复宇宙，V?是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。脱殊复宇宙后面还有脱殊复复宇宙，在此不多讨论。

最后是逻辑多元（V-logic），V-logic具有常元符号aˉ、Vˉ、Wˉ，aˉ表示V的元素（V的每一个集合a），Vˉ表示V本身（宇宙全体集合容器V），Wˉ来表示V的外模型，在一阶逻辑推理规则上添加以下规则，注意x↑（y）表示“y是x的正上方上标”，[a][b]表示一条横线把a、b两部分上下隔开：

1。[?b，b∈а，?（b↑（_））][1—?x∈a↑（_），?（x）]

2。[?а，b∈V，?（a↑（_））][1—?x∈V↑（_），?（x）]

公理：宇宙V是ZFC的一个模型；Wˉ是ZFC的一个传递模型，包含Vˉ作为子集，并且与V有相同的序数。

采取一个遵守V-logic规则的公理模型，得到一个模拟ZFC的宇宙，V-logic中的这一理论是在没有加厚V的情况下提出的，实际上它是在V+=Lα（V）内定义的，由于采用了高度潜在主义后者有意义。将IMH用V-logic转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“Wˉ满足P”在V-logic中一致，则P在V的一个内模型中成立。不直接谈论V的外模型，谈论以V-logic制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主义，在可数模型上宽度完成主义和激进潜在主义等效。通过V-logic可得到V+（V-logic+ZFC模型）也就是逻辑多元V-logic足够广泛可包含各种外部。