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56关于布朗运动的理论第2部分56（第1页）

爱因斯坦56关于布朗运动的理论第2部分

第2部分题为《应用第1部分中所推得方程的实例》，在这一部分，爱因斯坦将第一部分最后导出的方程4应用到了三个物理场景，简略的讨论了下方程4的应用。

方程4的第一个应用场景就是第1部分提到的物理体系状态变数P1，P2，…，Pn之一的原子坐标问题，也就是布朗运动中粒子的移动距离问题。爱因斯坦设定一个物体的重心能够沿着坐标系的X轴运动，而且这个物体被一种气体包围着（注：布朗运动的物理学假定模型，物体就是布朗运动中的花粉，这里的气体则是布朗运动中的液体），并且达到了热平衡和机械平衡。

按照分子理论，由于分子碰撞力不均匀，这个物体会以一种不规则的方式沿着直线作向后和向前运动，从而直线上没有一个点是特殊的，即几率均等，而物体重心的横坐标x就是上文探讨的物理体系参数α的一种。

接着，自然而然的，爱因斯坦的讨论就进入了第二个物理体系，在此处爱因斯坦设作用于第二个物理体系的势Φ（α）的力为K=-M·χ：

“那么，按照分子理论，这个物体的重心又会进行一种并不远离χ=0这个点的不规则运动；可是按照经典热力学，它却必须静止在点χ=0上。”

将方程4引入此处的设定物理场景，则在任意选定的时刻参数物体坐标χ处在χ和χ+dχ之间的几率dW为方程5：

dW=A′e-（NM·x22）（RT）dx

此处由于力为K=-M·χ，则方程4中的势Φ（α）为M·χ22，不严格的考虑此处可以参照重力和重力势能的关系。

由方程5可以求出物体重心（即布朗运动中的花粉）与点χ=0之间的平均距离为公式6：

√x2=√[òx2A′e-（NM·x22）（RT）dx]√[òA′e-（NM·x22）（RT）dx]=√[（RT）（NM）]。

（注：公式6中间第二项少了开方号。）

根据公式6可以看出，为了使物体重心（即布朗运动中的花粉）与点χ=0之间的平均距离√x2能够大到被观测到程度，力K=-M·χ中的参数M不能过大，爱因斯坦在论文中对此进行了一定的文字阐述：

“为了使√x2大到足以能够观测到，确立这个物体的平衡位置的力（注：即力K=-M·χ，M在公式6的分母上，M越大，√x2越小）必须非常小。如果我们设观测的下限为√x2=10-4cm；那么，对于T=300，我们就得到M大约为5×10-6。为了使这个物体所进行的振动在显微镜下可以观测，那么当伸长1cm时，作用在该物体上的力不可超过5107dya（1dya=10-5N）。”

方程4的第二个应用场景是辐射密度公式，这个公式就是光量子论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》中的公式，即本文《爱因斯坦34》中的公式3：rn=（8πn2RT）（NL3），光量子论文中的具体叙述如下：

[论文正文分为九个部分，第一部分题为《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》，以麦克斯韦理论和电子论为依据，设定在一个由完全反射壁围住的空间中，有一定数目的气体分子和电子，还假设有一定数目的电子被某些力束缚在这空间中一些相距很远的点上，称为振子：“我们称这些束缚在空间点上的电子为振子；它们发射一定周期的电磁波，也吸收同样周期的电磁波。”

以上述设定的场景为分析对象，爱因斯坦根据气体分子运动理论得出的动态平衡条件（一个电子振子的平均动能必须等于一个气体分子前进运动的平均动能）为依据导出了线性（分）振动的能量的平均值E=RTN，此为公式1。

其中R是绝对气体常数，N是每摩尔的实际分子数，而T是热力学温度。

公式1说明温度越高，线性（分）振动的能量越高，这个无争议，也好理解。

接着，爱因斯坦又从振子同空间中存在的辐射之间的相互作用作动态平衡的角度考虑，引用普朗克已经推导出的结论：En=（L3·rn）（8πn2），此为公式2。

其中，是本征频率为的一个振子（每一个振动分量）的平均能量，L是光速，是频率，为频率时的辐射能量密度。

……

在论文中，爱因斯坦通过公式1和公式2相等的关系，导出了公式3：

rn=（8πn2RT）（NL3）]。

在论文《关于布朗运动的理论》中，爱因斯坦没有用方程4具体推导上述应用场景二如何得出rn=（8πn2RT）（NL3），而是直接发了两段文字感慨：

“我们还要把一种理论上的考查同已推导出来的方程联系起来。假设所讨论的物体带有一个分布在很小空间中的电荷，而且包围这个物体的气体是如此稀薄，以致这个物体作出的正弦振动由于周围气体的存在只有轻微的变动。此外这个物体向空间辐射电波，并且从周围空间的辐射中收到能量；因此它促成在辐射同气体之间的能量交换。我们能够推导出一个看来是适用于长波和高温的热辐射的极限定律，只要我们提出这样的条件，使所考查的物体所发射的辐射平均起来正好同它吸收的辐射一样多。这样我们就得到下列对应于振动数的辐射密度的公式：

rn=（8πn2RT）（NL3）

此处L表示光速。

对于小的频率和高的温度，普朗克先生提出的辐射公式就转换成这个公式。N这个量能够从这极限定律中的系数确定出来，这样我们就得到了普朗克关于基本常数的确定（注：光量子论文第二部分《关于普朗克对基本量的确定》）。我们以上述方式得到的并不是真正的辐射定律，而只是一个极限定律，这一事实的缘由，依我看来是在于我们物理概念的根本不完备性。”

方程4的第三个应用场景为研究一个悬浮粒子必须小到怎样的程度才能使它不顾重力的作用而持久地悬浮着。设υ是粒子的体积，ρ是它的密度，ρ0是液体的密度，ɡ是重力加速度，而χ是从容器的底到一个点的竖直距离。

将方程4引入此处的设定物理场景，则在任意选定的时刻参数物体坐标χ处在χ和χ+dχ之间的几率dW为方程7：

dW=常数·e-[Nυ（ρ-ρ0）]·gx（RT）dx

此处方程4中的势Φ（α）为υ（ρ-ρ0）ɡχ，即浮力。

在论文中爱因斯坦对方程7进行了文字说明和阐述：“由此我们可以看出，这些悬浮粒子是能够依然悬浮在液体中的，只要对于不是小到无法观察的χ值，量[Nυ（ρ-ρ0）]·gx并没有太大的值——假定那些达到容器底的粒子不会因任何什么情况而被吸附在底面上。”

这段话的意思是只要从容器的底到一个点的竖直距离χ不是变态的小到无法观察，只要[Nυ（ρ-ρ0）]·gx不要太大导致悬浮粒子处于χ和χ+dχ之间的几率几乎为0，那悬浮粒子就能够以大概率稳定的悬浮在从容器的底到一个点的竖直距离χ±dχ处。

论文《关于布朗运动的理论》第二部分就此正式结束。